*Graficas De Las Funciones seno, coseno, tangente:

*RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS:

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2. Se conocen los dos catetos

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m 

EJERCICIOS:

 

1

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

2

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.5437 = 39.12 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

3

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

4

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

5

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

6

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

7

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

8

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

 

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

9

Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

10

Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

11

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

12

Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

13

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

14

La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

15

Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

16

Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

 EJERCICIOS :

1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

11 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.  

12 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

13 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

14 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

15 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

16Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

BLOQUE VII: APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

*FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL PLANO CARTECIANO

Las ondas nos son familiares por el océano, por el estudio del sonido, por los terremotos y por otros fenómenos naturales. Sin embargo, como diría cualquier surfista, las ondas oceánicas, como todas las ondas, vienen en tamaños muy diferentes. Para entender del todo a las ondas, necesitamos entender las medidas asociadas a ellas, por ejemplo, cada cuánto se repiten (su frecuencia), cuán largas son (su longitud de onda), y su tamaño vertical (amplitud).
Si bien estas medidas coadyuvan a describir las ondas, no nos ayudan a predecir el comportamiento de las mismas. Para lograrlo, necesitamos ver las ondas de manera más abstracta, lo que podemos hacer usando una fórmula matemática. Sí, es posible ver las ondas matemáticamente, ya que la forma de una onda se repite a intervalos constantes a lo largo del tiempo y la distancia. Este comportamiento refleja la repeticion del círculo. Imagine que dibuja un círculo en un papel. Ahora, haga de cuenta que dibuja la misma forma mientras que, despacio, su amiga retira el papel de debajo del lápiz. La línea que hubiera dibujado toma la forma de una onda. Para poder apreciar mejor esta idea, vaya al enlace "Del círculo a la onda" en la sección Experimento! en el menú de la derecha. Una rotación alrededor del círculo, completa un ciclo de subida y bajada de la onda, tal como se ve en el dibujo de abajo.

Figura 1: círculo sobre plano cartesiano

Los matemáticos usan la función seno (Sin) para expresar la forma de una onda. La ecuación matemática que representa la onda más simple es la siguiente:
y = Seno(x) Esta ecuación describe cómo una onda podría ser trazada en un gráfico, en el que y (el valor de la coordenada vertical en el gráfico) es una función del seno del número x (la coordenada horizontal).
La función seno es una de las proporciones trigonométricas calculadas, en un principio, por el astrónomo Hipparchus de Nicea, en el siglo dos A.C., cuando trataba de entender el movimiento de las estrellas y de la luna en el cielo nocturno. Hace más de 2000 años, cuando Hipparchus empezó a estudiar astronomía, el movimiento de los objetos en el cielo era un misterio. Hipparchus sabía que las estrellas y la luna tendían a atravesar el cielo nocturno de una manera semi-circular. Por consiguiente, pensaba que entender la forma de un círculo era importante para entender la astronomía. Hipparchus empezó a observar que había una relación entre el radio de un círculo, el ángulo central de un triángulo de ese círculo y la longitud del arco de ese triángulo. Si se sabían dos de cualquiera de estos valores, se podía calcular el tercer valor. Con el tiempo, se supo que esta relación también era aplicable a los triángulos rectangulares. Conociendo la medida de un ángulo de un triángulo rectangular, se puede calcular la proporción de los lados del triángulo. El tamaño exacto del triángulo varía, pero la proporción de la longitud de los lados está definida por el tamaño de los ángulos. La relación específica entre la medida del ángulo y los lados del triángulo son lo que se denominan las funciones. Las tres funciones principales son:

• Seno A = opuesto/hipotenusa
• Coseno A = adyacente/hipotenusa
• Tangente A = opuesto/adyacente

Figura 2: triángulo

La palabra trigonometría significa "medida de triángulos". El seno, el coseno y la tangente son las proporciones trigonométricas, que tienen su origen en el antiguo estudio de los triángulos.

Las proporciones trigonométricas se convierten en funciones de ondas

¿Cómo están relacionados los triángulos a las ondas? Al principio del siglo XVII, dos franceses, René Descartes y Pierre Fermat desarrollaron lo que se conocería como el plano coordenado cartesiano, comúnmente conocido como el plano gráfico (x,y). Este invento fue un avance extraordinario en la historia de las matemáticas ya que se vió, por primera vez, la integración de dos ramas importantes, pero distintas, de las matemáticas: la geometría, como la ciencia del espacio y de la forma y el álgebra, como la ciencia de los números. En poco tiempo, con el invento del sistema coordenado cartesiano se pudo graficar muchas de las relaciones matemáticas, incluidas las proporciones seno y coseno.
Como se sabe, las funciones trigonométricas también pueden ser definidas en relación con el "círculo unidad", o sea, un círculo con radio igual a 1. Se puede ver cómo funciona esta premisa, cuando se coloca el círculo unidad en el plano cartesiano y se dibuja un triángulo dentro del círculo, como se puede ver en el diagrama que se observa a continuación. De acuerdo a nuestra discusión previa, el seno del ángulo A en el diagrama equivale a la proporción del lado opuesto sobre la hipotenusa. Sin embargo, recuerde que estamos trabajando con un círculo unidad y que la longitud de la hipotenusa es igual al radio del círculo, o sea 1. Por consiguiente,

Seno(A) = opueso/1 = opuesto
. De esta manera, el seno de A da la longitud del lado opuesto del triángulo, es decir, la coordenada -y de nuestra plano cartesiano. De igual manera, el coseno del ángulo A equivale al radio de los lados adyacentes sobre la hipotenusa. Puesto que la longitud de la hipotenusa equivale a 1, el coseno de A da la longitud del lado adyacente, es decir, la coordenada -x del plano cartesiano.

Figura 3: En este dibujo se muestra el círculo unidad en el plano cartesiano con un triángulo al interior. El punto en círculo en contacto con el radio tiene las coordenadas (x,y).

Si dibujamos este triángulo a medida que nos movemos, en dirección contraria al reloj, en el círculo, empezamos a ver que las funciones trigonométricas, en este caso seno y coseno, tienen una cualidad periódica. Esto quiere decir que seno, por ejemplo, aumenta al máximo en la parte superior del círculo, disminuye a cero cuando se va a la izquierda y adquiere valores negativos cuando se continúa alrededor del círculo. En la parte inferior del círculo la función seno alcanza un valor mínimo y el proceso empieza de nuevo cuando llegamos a la derecha del círculo. Para apreciar mejor esta idea, revise la animación en este enlace Seno, coseno, y el círculo unidad.
Seno, Coseno, y la Unidad Círculo
Esta animación ilustra cómo los valores seno y coseno cambian a medida que recorremos la unidad círculo. Como se pudo observar en la animación anterior, a medida que el ángulo A aumenta, los valores de las funciones trigonométricas de A experimentan un ciclo periódico de 0, a un máximo de 1, a un mínimo de -1, y de nuevo a 0. Hay varias maneras de expresar la medida del ángulo A. Una manera es en grados, donde 360 grados definen un círculo completo. Otra manera de medir ángulos es con la unidad llamada radian, en la que 2π radianes definen un círculo completo. Los ángulos más pequeños que 360 grados pueden ser definidos como fracciones de esta unidad, por ejemplo: 90° pueden ser escritos como π/2, o 1.57 radianes, en tanto que 180° equivale a π/ , o 3.14 radianes.
Si trazamos el seno del ángulo medido en radianes en el sistema de coordenadas cartesiano, de nuevo obtenemos la característica subida y bajada. Sin embargo, ya que la medida del ángulo está trazada a lo largo del eje x (en vez del coseno del ángulo), la gráfica que se obtiene es una curva continua en el plano coordenando que se parece a una onda física, tal como se puede apreciar en la gráfica inferior.

Figura 4: Grafíco Seno.

Si mira detenidamente a este gráfico, verá que la onda cruza el eje x en los múltiplos 3.1416… - el valor de pi. Una onda entera está completa en el valor 6.2832…, o 2π, exactamente la circunferencia del círculo unidad.
Al entender el origen de la función seno, se hace más fácil entender cómo opera en relación a las ondas. Como vimos con anterioridad, la fórmula básica que representa la función seno es:

y = Seno(x)

En esta fórmula, y es el valor en el eje, que se obtiene cuando se realiza la función Seno(x) en los puntos del eje x. Esto produce el gráfico de la onda básica seno. ¿Pero, cómo podemos representar otras formas de ondas, especialmente aquellas que son más largas o más grandes? Para poder trazar ondas de diferentes tamaños, necesitamos añadir otros términos a nuestra fórmula. Lo primero que veremos es la amplitud.

y = ASeno(x)

En esta modificación de la fórmula, A nos da el valor de la amplitud de la onda - la distancia que mueve arriba o debajo del eje x, o la altura de la onda. Esencialmente, lo que realiza el modificador A, es un aumento (o amplificación) del resultado de la función Seno (x), lo que produce valores y mayores.
Para modificar la longitud de onda de una onda, o la distancia de un punto de una onda a un punto igual en la siguiente onda, se usa el modificador k, como se puede ver en la fórmula siguiente.

y = ASin(k*x)

El multiplicador k extiende la longitud de la onda. Recuerde nuestra discusión anterior que la longitud de onda, de la onda más simple es 2π, por consiguiente la longitud de onda en la fórmula final está determinada simplemente dividiendo 2π por el multiplicador k, por lo que la longitud de onda(λ) = 2π/k.
Si desea seguir estudiando esta relación, el enlace "Shape of a Wave" ("La forma de una onda") en la sección Experimento!, a la derecha, le muestra cómo la forma de una onda varía cuando la amplitud o la longitud de onda cambian. Para seguir investigando cómo cambian los valores de A y k se puede usar el enlace "Wave Calculator" ("Calculadora de ondas") en la sección Investigación.
Puesto que las ondas siempre están en movimiento, otro término importante para describir una onda es el tiempo que se necesita para que unalongitud de onda pase un punto específico en el espacio. Este término, referido como el periodo, T, es equivalente a la longitud de onda, T = Periodo = 2π/k. Sin embargo, está dado en unidades de tiempo (sec) en vez que de distancia.
Entender las matemáticas de las funciones de las ondas, nos permite entender mejor el mundo natural que nos rodea. Por ejemplo, las diferencias entre los colores que usted ve en esta página, tienen que ver con las diferentes longitudes de ondas percibidas por nuestros ojos. De igual manera, la diferencia entre el trinar de un pájaro y el estruendo de una locomotora se debe al tamaño de las ondas de sonido que se emiten. Las ondas, y por consiguiente las ondas matemáticas, nos rodean constantemente.

ejercicios: :http://urrutimath.wikispaces.com/file/view/ejercicios+TRIGONOMETRIA.pdf


*CIRCULO UNITARIO:

Las funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario.  El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es  x² + y² = 1.

Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular.  Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.  Entonces,  el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj.  De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.  En la página 340 del texto puedes observar la forma en que se enrolla la recta al círculo unitario.

Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es:

Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente:

De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son:                                                                      

                                                    

Nota:  Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales.

 

                                                                    

                                                                      

                                                                   

                                                                    

Ejemplo para discusión:  Halla las coordenadas de los siguientes puntos:

Ejercicio de práctica:  Halla las coordenadas de los puntos:

Otros ejemplos para discusión:  Halla las coordenadas de:

En el texto en las páginas 342-345 se explica claramente el proceso para hallar las coordenadas de estos puntos circulares.

Tenemos que las coordenadas de los puntos circulares claves en el Cuadrante I son:

Ahora pasaremos a construir (en el salón de clases) el círculo unitario con todos los puntos circulares trabajados anteriormente y sus respectivas coordenadas.

        

*Graficas De Las Funciones seno, coseno, tangente:

*seno*

*coseno*

*tangente*

*cosecante*

*secante*

*cotangente*

ae

 

 BLOQUE VII: APLICA LAS LEYES DE LOS 

 

SENOS Y COSENOS

 

 

 

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Teorema o ley del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

Teorema o ley del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Teorema o ley de la tangente

Si A y B son ángulos de un triángulo y sus lados correspondientes son a y b, se cumple que:

,jyygkjg

EJERCICIOS:

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

Estrategia para resolver el ejercicio:

Determina los datos:

a=10m

A=30°

B =40°

b = ?

Utiliza la siguiente ecuación:

Despeja para la desconocida:

Reemplaza los valores conocidos en la ley del seno

Usa una calculadora o una tabla trigonométrica para ir desde el seno de A hasta obtener la medida del ángulo A segúndemostrado:

La respuesta es: el ángulo obtenido es b=13m

-Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°. Determine la longitud del tercer lado. Solución.
Supongamos que a = 6
b = 10
C =120° , y el tercer lado es c.

Entonces por la Ley de Cosenos tenemos que:

c²=a²+b² -2abcosC

c²=6²+10² -2(6)(10)cos120º

c²=36+100-2(6)(10) (-1/2)

c²=196

Por lo tanto c = 14.

 ❶

Aplicamos ley de coseno para el angulo Aº

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº)

8² = 10² + 12² - 2*10*12 cos(Aº)

64 = 100 + 144 - 240 cos(Aº)

cos(Aº) = (100 + 144 - 64) / 240

cos(Aº) = 180 / 240

cos(Aº) = 3/4 = 0.75

Aº = arccos(0.75)
___________
Aº = 41.42º |
___________|

❷

Ahora sabiendo un angulo podemos aplicar la ley del deno para hallar el Bº y el Cº

Ley Seno : a/sen(A) = b / sen(B) = c /sen(C)


a / sen(Aº) = b / sen (Bº)

sen(Bº) = (b/a) sen(Aº)

sen(Bº) = (10/8) sen(41.4º)

sen(Bº) = 1.25 * 0.66

sen(Bº) = 0.826

Bº = arcsen(0.826)
___________
Bº = 55.83º |
___________|

❸

a / sen(Aº) = c /sen(Cº)

sen(Cº) = (c/a) sen(Aº)

sen(Cº) =(12/8) sen(41.4º)

sen(Cº) =1.5 * 0.6613

sen(Cº)= 0.9919

Cº = arcsen(0.9919)
___________
Cº = 82.75º |
___________|

________________________ ___________________ ______________
COMPROBACION :

La suma de los 3 angulos internos en un triangulo es de 180º

Aº + Bº + Cº = ?????

=41.42º + 55.83º + 82.75º

= 180º ......-----> Comprobado

1) en el triangulo BAC sabemos todos sus lados

Aplicamos la ley del coseno para el angulo Aº

==> cos Aº = ( AB² + AC² - BC² ) / (2 * AB * AC)

==> cos Aº = (50² + 85² - 65² ) / (2 * 50 * 85)

==> cos Aº = (2500 + 7225 - 4225) / 8500

==> cos Aº = 5500 / 8500

==> cos Aº = 0.647058823

Ahora no hace falta calculr el angulo Aº porque ,lo que ne falta es el cos Aº

2) En el triangulo recto ADC aplicamos cos Aº

Sabemos qu en un triangulo recto
cos =cateta adyacente / hipotenusis

==> cos Aº = AD / AC

======================

DE 1) y 2) resulta AD / AC = 0.647058823

==> AD = AC * 0.647058823 = 85 * 0.647058823

==> AD = 54 .999999

Como AD = AB + BD

==> BD = AD - AB = 54 .999999 - 50 = 4.999999

===========
RESPUESTA:

la altura del promontorio(BD) = 4.999999 aproximado 5 metros

==================== ========================
Aqui te dejo las leyes por si acaso no las sabes :

Dado un triángulo ABC, con ángulos Aº,Bº,Cº;el lado a está opuesto a Aº; el lado b opuesto a Bº;el lado c opuesto a Cº,
a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)


la LEY DEL SENO
==============

a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)





la LEY DEL COSENO
=================
c²= a² + b² - 2ab cos(Cº) --------> Cos(Cº)=(a² + b² - c²) / (2ab)

b² = a² + c² - 2ac cos(Bº) --------> Cos(Bº)=(a² + c² - b²) / (2ac)

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº) --------> Cos(Aº)=(b² + c² - a²) / (2bc)

=================== ===========================
PROBLEMA

los angulos de elevacion de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estan a 275 km entre si y el globo se encuantra entre ambos puntos ,con el mismo plano vertical calcula la alturade h del globo sobre el suelo.

"Amadeus Alejandro Martinez Martinez"

grupo: 206